フーリエ 級数 展開。 フーリエ級数展開式の導出と矩形波・鋸波のフーリエ係数の計算

フーリエ級数の求め方を即効で例題で確認してみよう!

フーリエ 級数 展開

: : :• フーリエ級数 やる夫 そもそもフーリエ変換の意味がわからんお.数学の試験の前に公式と計算のしかただけは覚えたけど,何をやってるのかさっぱりだお. やらない夫 お前,そこからかよ….先が長過ぎだろ,常識的に考えて… やる夫 だいたいが「変換」って何を何に変換するんだお. やらない夫 まあ確かにそこは,いきなり「変換」と考えるとわかりにくいかも知らんな.というか,たぶん数学の授業でもちゃんと順を追って説明してくれたと思うんだが…. やる夫 やる夫が真面目に聞いてるわけないお. やらない夫 だろうな.…そう,まずは「変換」じゃなくて「分解」だと考えるのがわかりやすい.信号を複数の成分に分解するのがフーリエ変換だ. やる夫 信号…,分解… やらない夫 ダメか.じゃあ一つずつ片付けていこう.まず「信号」だが,これは意外と真面目に定義するのは難しい.だから,とりあえず「時間の関数」のことだと思ってくれればいい.時間 とともに変化する量を考えて,それを の関数で表す.数式で書くなら例えば だな.具体例としては,音波でもいいし,気温変化でもいいし,株価でもいい. やる夫 なんだ,それなら最初から時間の関数と言って欲しいお. やらない夫 いや,本当は時間の関数とは限らないんだ.空間座標 とともに変化する量 を考える場合もある.バーコードなんかがそうだ.2 次元の空間座標とともに変化する を考える場合もあって,画像がまさにそれだ.動画像の場合は,画像が時間とともに変化するから になる.これらはどれも「信号処理」の対象にすることができる. やる夫 …何か急に話の難易度が上がった気がするお. やらない夫 だな.だから,多次元の場合を最初から考えると大変なので,まずは 1 次元の場合だけ考えようというわけだ,そのときに の関数と考えても, の関数と考えても,数学的にはどちらでも全く同じことなんだが,とりあえず時間の関数 で考えることにしましょう,ということだ.実際,信号処理分野の用語は,時間関数で考える方が理解しやすいようにできている.特に「音波」だと考えておくと,後々出てくるいろいろな概念がイメージしやすいと思う. やる夫 よくわからんけど,話が簡単になる方向なら大歓迎だお. やらない夫 じゃあよしとするか.次は「分解」だ.これはつまり,信号を「複数の三角関数の和」として表そうということだ.複雑な形をしているかも知れない関数を,より単純なものに分解するんだな.三角関数はわかるな? やる夫 馬鹿にするなお! sin とか cos くらいわかるお.こう見えても高校生までは優等生だったお! やらない夫 与えられた信号を,例えば 10 Hz,20 Hz,30 Hz … といったいろんな周波数の三角関数の和で表すわけだ.このことを,10 Hz,20 Hz,30 Hz …の周波数成分に分解するともいう. やる夫 分解して何がうれしいのかお? やらない夫 複雑なものも,単純な成分に分解できれば理解しやすくなるし,逆に,構成成分がわかれば,元の信号を人工的に合成する道もひらけるってもんだろ.あとは要らないものを取り除いたりとかにも使えるわけだ. やる夫 ふーん,そんなもんかお. やらない夫 三角関数で表される波,つまり正弦波とかサイン波とか呼ばれるやつだが,音波だとするとどんな音になるかわかるか? やる夫 それは高校の物理で習ったお.音叉を鳴らしたときの音がサイン波に近いんだお! やらない夫 そうだな.他には,117 に電話して聞ける時報の音,あれがサイン波だ.ポッ,ポッ,ポッ,ポーンていう,短いポッが 440 Hz で,長いポーンが 880 Hz だ.あんな味もそっけもない音の足し合わせで,ピアノの音もバイオリンの音もギターの音も作り出せると思うと,結構すごいことだと思わないか? やる夫 それは確かにそうかも….ということは,音叉をものすごい数並べて,それぞれ丁度よい強さで叩けば,ピアノとかバイオリンに聴こえるってことかお? やらない夫 うーん,まあ理論上はそういうことだが,叩く強さだけじゃなく,叩くタイミングもシビアに調整しなくちゃいけないので,現実には難しいだろうな.仮にぴったり揃ったとしても,音叉とピアノ・バイオリンじゃ,音量変化のしかたがだいぶ違うから,それっぽく聴こえるようにするのは難しいはずだ. やる夫 なんだ,つまらんお. やる夫 で,その丁度良い強さとか丁度良いタイミングってのはどうやって決めればいいんだお? やらない夫 ようやく本題だな.まずは,分解する信号として周期的な関数 を考えよう.周期的でない場合への拡張はそれからだ.周期を とする.周期的なので,具体的に計算する必要があるときは から までの範囲だけ考えることにしよう.他の区間も同じものを繰り返してるだけだからな. ついて来てるか? やる夫 …なんかややこしい sin と cos をたくさん足しているのはわかるお. やらない夫 そんなにややこしくはないんだ.順番に見ていけばいい.まず最初の は定数だ.「三角関数の足し合わせ」のはずなのに定数があるのはおかしいと思うかも知れないが,これだって周波数が 0 の三角関数だと思ってしまえばいい.元の信号のうち振動しない成分なので,直流成分と呼んだりする. やる夫 まあ,そこは OK だお.その後の cos とか sin とかの括弧の中身が萎えるお. やらない夫 まず の場合を考えてみよう.cos の中も,sin の中も,角周波数が だ.時刻が だけ経過したら位相が 進むんだから,要するに元の信号の 1 周期でちょうど 1 周するような cos や sin ってことだろ. やらない夫 そうだ. が増えていくについて,より速く振動するサイン波になる.高周波になるんだな.ただし,ここで足し合わされている周波数成分は,「 が自然数のもの」だけだということに注意してほしい. やる夫? やらない夫 とか, とか,そういう半端なものは足し合わせてないってことだ. やる夫 あー,つまり,元の信号の 1 周期で,ちょうど 2 周とか 3 周とか 15 周とか,何周かして元の位相に戻るようなサイン波しか足してないってことかお. やらない夫 そうだな.ちょっと記号を定義しておこう.この の場合の角周波数を基本角周波数と呼んで と表す.ついでに,さっきから出てきている の方は基本周期と呼んだりする.「周期」「周波数」「角周波数」の間の関係は大丈夫か? やらない夫 いいだろう.基本角周波数 を使って書くと,式 は 基本周期が 0. 01 s 周期で周期的なんだから,それを組み立てるサイン波も,0. 01 s の区間内に整数個の周期がすっぽり収まるようなものじゃないと困るだろ,常識的に考えて…. やる夫 確かに,そうなってないと足し合わせて周期的にならないような気がするお. やらない夫 だから,分解できるとしたらこういう形にならざるを得ない,ってのはまあ納得できると思う.残る問題は,本当にどんな周期関数でもこの形に分解できるんだろうか,ということだ. やる夫 なるほど.でもこの話の流れならできるに決まってるお. やらない夫 残念,できない. やる夫 どういうことだお! できないことを延々と聞かされてきたのかお!! 今さらできないとか言われても困るお! やらない夫 まあ待て落ち着け.「どんな周期関数でもできるわけではない」という意味だ.実用上,信号処理の対象としたくなるようなものはほとんど分解できると思って大丈夫だ.もう少し正確にいうと,式 の両辺を で結ぶことの意味をどのように定義するかによって,分解できるかできないかの条件が変わってくる.そのあたりの詳しい話を知りたければ,数学の教科書をあたって欲しい. やる夫 何言ってるかわからんお,教科書読むくらいなら納得したことにするお.実用上十分ならそれでいいお. やらない夫 本当はそういう態度ではいかんのだが…まあ先に進もう.こうやって,式 のように表すことを, をフーリエ級数に展開するという.そのときの係数 や をフーリエ係数と呼ぶ.さっきの話でいうと,このフーリエ係数によってそれぞれの音叉を叩く強さとかタイミングが決まるわけだ. やる夫 なるほど.…ってあれ? まだそのフーリエ係数の求め方を聞いてないお. やらない夫 それがこれからの話だ. やる夫 やらない夫は話が長いお. やらない夫 誰のために話してると思ってんだ! まあいい.基本的なアイディアはこういうことだ.例えば の値を求めたいとしよう.式 の両辺を式変形していって, 以外のすべてのフーリエ係数がうまいこと消えてくれるようにしてやる.そうすればあとは についての方程式を解いてやればいいわけだ. やる夫 そんなうまくいくのかお. やらない夫 じゃあまず から考えるか.この場合やることは割とシンプルだ.両辺を から まで単純に積分しよう. 1. 9 1. 10 やる夫 なんかまた大軍が押し寄せてきたお. やらない夫 お前はいちいち大げさなんだよ.まず記号の説明だが, は, のときに 1,それ以外の場合に 0 になることを表す. やる夫 知ってるお.クロネッカーのデルタだお. やらない夫 なので結局これらの式が言っていることは,ある区間の中にちょうど整数個の周期がすっぽり収まるような cos とか sin を 2 種類持ってきて,両方をかけあわせてからその区間で積分しても,ほとんどの場合は 0 になって消える; 消えないのは,全く同じもの同士をかけあわせた場合だけだ,ってことだ. やる夫 ええと,sin 同士,cos 同士の場合は同じ周波数のものどうしの場合以外は 0 になって,sin と cos をかけあわせた場合はどんな場合でも 0 になる.確かにそうなってるお. やらない夫 直観的には…こう考えようか.全く同じもの同士をかけあわせた場合は常に正の値になるから,積分して 0 にならないのは納得できるだろう.それ以外の組み合わせでは,かけあわせたときに正の部分と負の部分がちょうど同じ面積になるように生じて,積分したら 0 になる.まあ気になるならこれも自分で計算してみるといい.高校数学の範囲で計算できるからな. やる夫 ふーん,まあ,気が向いたらやっとくお. やらない夫 これらの式 と式 をあわせて三角関数の直交性と呼ぶ.詳しい話はそのうち触れたいと思うが,いま何度もやった2つの関数を「かけてから積分する」という操作は,2つの関数の内積を計算していることになるんだ.異なる三角関数は内積がゼロ,つまり直交していることを意味するから直交性と呼ぶ. やる夫 何をいってるかわからんお.内積はベクトルに対して計算するものだお.関数の内積って意味わからんお.直交しているってのもわからんお.角度はどうなってんだお. やらない夫 まあそう思うのもしかたないかも知れないが,関数をベクトルとみなす考え方なんだと思ってくれ.イメージとしては,そうだな,例えば と という 2 つの3次元ベクトルがあったら,要素ごとにかけて総和を取って とするだろ. やる夫 それはわかるお. やらない夫 じゃあ関数を,その関数値がずらーっと並んだものを要素とする無限次元のベクトルだと思えば,総和が積分になって「かけて積分」するのが内積の計算方法になりそうな気がしないか? 周期 の周期関数 の実用上ほとんど は,式 のような三角関数の無限和で表すことができる.これを のフーリエ級数展開と呼ぶ.• ここに出てくる各係数は式 で与えられて,フーリエ係数と呼ばれる.• やらない夫 おお,何だ. やる夫 数学の授業で使った教科書ではフーリエ級数の直流成分の項が じゃなくて になってた気がするお.教科書が間違ってたのかお? やらない夫 いや間違ってはいない.式 の 3 つの式をもう一回見てくれ.もし を 2 倍の値にしてよければ,1 個めの式は 2 個めの式に含めてしまえるのがわかるか? 4 積分と総和の交換 やらない夫 一応これでフーリエ級数の最低限の話は終わったんだが,もう少し補足説明しておきたいことがある. やる夫 気分がいいから聞いてやってもいいお. やらない夫 なんで上から目線なんだよ….さっきのフーリエ係数を導出したところで,ちょっと目をつぶった点があったろ. やる夫 あー,積分と総和の順序を入れ替えたところだお. やらない夫 そうだ.無限級数だから,この入れ替えは常にできるわけじゃない. やる夫 でもどうせ「実用上は多くの関数で可能」とかいう話なんだお? だったらやる夫は気にしないお. やらない夫 いや,実はここはそういう風には済ませないんだ.無限級数を積分するときに積分と総和の入れ替えが可能かどうかを判定するためには,その級数がどんな項から構成されているかわからないとダメだろ. やる夫 そりゃそうだお. やらない夫 でも今の話は,フーリエ係数を求めるための議論だったから,その級数の各項がどんなものかはまだわかっていないわけだろ. やる夫 そう…だお. やらない夫 各項がどんなものかわかるためには,積分と総和を入れ替えて計算する必要があったわけだろ. やる夫 …だお. やらない夫 積分と総和の入れ替えが可能かどうかを判定するためには,その級数がどんな項から構成されているかわからないとダメだろ. やる夫 まずいお! 無限ループ恐いお!! やらない夫 結局,今日の議論は「フーリエ係数を導出する」ための議論とはなり得ないんだ.こう考えて欲しい.仮に式 のように が表せて,かつ右辺の級数をそのまま積分したり,sin や cos をかけてから積分したりしたときに,積分と総和を入れ替えられるような場合があったとしよう.そのときはフーリエ係数は式 の形で与えられるわけだ. やる夫 そこまではわかるお.今まで聞いてきた話そのものだお. やらない夫 ところが,実際に何か具体的な が与えられたときには,そのような処理をしてよいかどうかはわからない.でも,ともかく式 のように計算される係数を使って,式 の右辺で表されるような三角関数の無限和を形式的に考えてしまうんだ.それが収束するのかとか,収束した結果 に一致するのかとかはひとまず置いておく.そういう風に「ともかく,形式的に, を級数っぽく表示してみましたよ」という状態を 1. 17 なんて書くことが多い. やる夫 なんだお. が になっただけだお. やらない夫 「イコールかどうかは分からんよ,とにかくこう書いただけだよ」という意味がこめられていると思えばいい.こうやって各項の形をとにもかくにも定めてやれば,あとはこれが収束するのかとか,収束した結果が に一致するのかとかいう議論に進むことができるわけだ.そういう議論は省略するが,言ったとおり「実用上ほとんどの では」「十分に実用的な意味で」収束して一致すると考えて構わない. やる夫 なんか騙された気がするお. やらない夫 まあそう言うな.厳密な数学に踏み込まずに,可能な限り正確に説明しようとすると,こんな説明がぎりぎりの線だ..

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【フーリエ解析01】フーリエ級数・直交基底について理解する【動画解説付き】

フーリエ 級数 展開

のフーリエ級数による近似。 最初の4項まで フーリエ級数(フーリエきゅうすう、 Fourier series)とは、複雑なや周期信号を、単純な形の周期性をもつ関数の(無限の)和によって表したものである。 フーリエ級数は、フランスの数学者によって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。 は、として表される。 フーリエの研究の前までには、一般的な形での熱伝導方程式の解法は知られておらず、熱源が単純な形である場合、例えばなどの場合の特別な解しかえられていなかった。 この特別な解は現在では固有解と呼ばれる。 フーリエの発想は、複雑な形をした熱源をサイン波、コサイン波のとして考え、解を固有解の和として表すものであった。 この重ね合わせがフーリエ級数と呼ばれる。 最初の動機は熱伝導方程式を解くことであったが、数学や物理の他の問題にも同様のテクニックが使えることが分かり様々な分野に応用されている。 フーリエ級数は、、の解析、、、、および などの分野で用いられている。 左辺の三角関数の一つ一つは波打っているにもかかわらず、 x に依らない定数に収束しているのである。 このような不連続な関数まで表せることに興味を抱いたフーリエは、さらに三角級数を詳しく調べ、に出版した著書『熱の解析的理論』の中で、全ての関数は三角級数で書けるということを主張した。 の解の形として、三角級数を仮定するという方法は、フーリエ以前にもらによって行われていたが、三角級数という特別な形を仮定することによって得られる特殊な解と考えられていた。 フーリエの主張は、三角級数は、そのような特別なものではなく、全ての関数が三角級数で表せると大きく出ている。 フーリエの議論は飛躍が多かったため、反論が相次ぎ、この主張は受け入れられなかった。 しかし、フーリエの側にだけ非があるわけではなく、当時のが、このような関数列の収束性などを扱うには未熟で、フーリエの主張の真偽を判定することは難しかったことも関係している。 この後、関数がフーリエ級数で表現できるための条件などを論じるために、、、、などの概念などの見直しが行われ、フーリエ級数論は19世紀数学におけるの厳密化に大きな影響を与えることになった。 またフーリエ級数に始まるの研究は、などの手法を産み、や、、など現代科学の基礎技術としても発展していった。 定義 [ ] 以下で述べる定義は形式的なもので、実際には f x を用いた積分が存在するのかということと、 f x から得られたフーリエ級数が、本当に f x に収束するのかといった事が問題になり、それらを解決するためには f x になどの制約が課される。 にはが用いられる。 f x に収束するフーリエ級数が得られる場合、 f x は フーリエ展開できるという。 複素数値関数のフーリエ級数(複素フーリエ級数) [ ] を用いると、複素型のフーリエ級数を得ることができる。 フーリエ級数の例 [ ] 周期関数以外の関数から周期関数を作り計算することも多い。 直交性 [ ] 三角級数の直交性 [ ] フーリエ級数のようなものが考えられる背景には、関数の直交性がある。 この級数が、元の x に等しいとき、フーリエ展開できるという。 ヒルベルト空間 X について、• 脚注 [ ]• Nerlove, Marc; Grether, David M. ; Carvalho, Jose L. 1995. Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics. Elsevier. 参考文献 [ ]• コルモゴロフ、S. フォミーン『函数解析の基礎』下、山崎三郎・柴岡泰光訳、岩波書店、1979年。。 関連項目 [ ]•

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うさぎでもわかるフーリエ級数展開の仕組み・計算法

フーリエ 級数 展開

今回は少し数学のお話をしようと思います。 理系の大学に入るとだいたい1,2年生でとを勉強することになりますが,これ何やってるんだってなった方いませんか? 僕は高校生のときは数学が好きだったのですが,を初めて教わったとき全く意味が理解できなくて少し数学を嫌いになってしまった経験があります。 勿論先生の教え方にもよると思いますが,どうしても時間の限られた講義の場では数式を追う淡泊なものになりがちな気がします。 数式を覚えたり式変形していったりすることも当然重要なのですが,結局一番大切なのはその数式の「心」を理解することなのではないかと僕は思っています。 異論は認めますw それでは本題に入ります。 との意味 と,一見全く違う数式に見えますが,言っていることは殆ど同じです。 は の範囲で を などの のべき乗の線形和で表そうとしているものです。 無限和のところを有限にすることで,近似していく様子を見ることができます。 fig. 1は を する様子です。 ちなみに は奇関数なので などの係数は0になっています。 fig. 1: Taylor series expansion は の範囲で を などのの線形和で表そうとしています。 同様に有限の和で近似することで理解しやすいかと思います。 fig. 2は をする様子です。 fig. 2: Fourier series expansion つまり方法は違えど2つとも任意の関数を別の関数の足し合わせで表そうとしているのです.

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