フーリエ 解析。 【Excel】フーリエ解析(FFT)

周波数応答解析の基礎

フーリエ 解析

フーリエ解析とは、信号処理における基本的な解析手法のである。 概要 フーリエ解析とは、 「周期的な波として捉えられる現は全て単純な正弦波 ,c の重ね合わせで表現することができる」 という昔の偉い者が考えたの下、的を駆使しなどの計算を行うことで振動している何か(音、電圧、画像など)を解析する手法である。 例えば、音の周波数ごとの分布を調べ、ある周波数以上の成分は取り除くなどの加工をし、さらにそれを合成することで高い周波数成分が除かれた音を作るといったことにも応用できる。 ちなみにこれをローパスという。 応用例 フーリエ解析に関連深いもの• 画像である• のであるで使用されている(離散コ変換)• 音である()に使用されているCT(修正離散コ変換) フーリエ解析を極める? と価の変動予測をして持ちになれたり、のができるかもしれない。 関連動画 関連商品 関連項目• 離散時間• に拡しても使える。 周期的な時間成分を基準に解析を行う手法で、波形は連続している。 周波数成分は飛び飛びで周期的にならない。 周波数成分は連続的で周期的にならない。 離散的で周期的であれば使える。 周波数成分も離散的で周期的になる。 結果が出るのがクッソ遅い。 正確な値が出るのに限時間掛かる。 計算量(オーダー)が二分の一乗倍。 第三項くらいで、大体正しい値になる。 28 ななしのよっしん.

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高調波解析

フーリエ 解析

に関しての基本事項を記載したマイノートです。 目次 [Contents]• ここでは、基本的に、以下のトピックでがどのようなものなのかを見ていくことにする。 任意の(区分的に滑らかな)周期関数は、無限個の sin, cos の和で表現できることを主張した• の収束性について議論で、どのような場合にが収束するのか?• より計算の簡単な複素• 視点でのとして、が完全直交系をなすこと。 の周期を無限大に伸ばし、非周期関数に適用出来るようにした。 、の応用としての、の解析解の解法• 、の応用としての、スペクトル解析• 以下、そのことを見ていく。 まず、以下のような、sin,cos の和からなる() の式 に対して、各項の係数(係数) を求めることを考える。 まず、係数を 求める。 上式の左から を掛けて の範囲ですると、 ここで、 の関係より、 次に、係数 を求める。 の式に、 をかけて の範囲ですると、 ここで、 の関係より、 最後に、係数 を求める。 定を実行すると、 同様にして、 定を実行すると、 最後に、 よって、周期関数 は、の式、 で記述できる。 この例のように、 周期関数を sin. cos の和の重ね合わせで表すことをとよび、得られたをという。 逆に言えば、このは、全ての周期関数はsin. 例えば、先の周期関数 の例では、 その の各項は以下の図のようになり、元の周期関数はこれらの重ね合わせで表現できるが、各係数 は、各項の振幅の大きさに対応していることが分かる。 次に、係数 が、偶関数・奇関数の観点から、周期関数 のどのような性質を表しているのか見てみる。 そのためにまず、以下の性質が成り立つことを示す。 - (証明) まず、周期関数 から、 が成り立つような関数 を作ると、 より、 の関係は成り立つ。 次に、 の関係より、この は偶関数であることが分かる。 更に、 の関係より、この は奇関数であることが分かる。 従って、 周期関数 は、(同じ周期を持つ)偶関数 と奇関数 の和で記述できる。 ここで、周期関数 のの式 と、先の性質 を見比べると、 偶関数 と奇関数 は、 従って、同じ周期の変動成分(=振幅の大きさ)に対応している係数 の内、 は偶関数の成分(=cos 成分)、 は奇関数の成分(=sin 成分)を表している。 言い換えると、 周期関数は、一般的に偶関数成分と奇関数成分を含んでいるが、 これら2つの成分を表現するのに、2つの係数 が必要であることを示している。 一般的に、ある周期関数が与えれた時に、そのでのどの周期の変動成分が大きいのかを見分けるのは容易ではない。 このような場合に、与えれた周期関数のを行い、 を計算すれば、どの周期成分が大きいのかを即座に知ることが出来る。 先に見たように、周期 T の周期関数 f t が与えれたときに、そのは、 多くの場合、この展開式は無限個の sin,cos の和になる。 この途中で打ち切って作った関数を と書くことにすると、 となる。 今、の収束性について考えるために、無限個の和である右辺が、元の周期関数 f t に等しいといえるための条件を で表現すること考えると、 これは、「どの t に対しても N を大きくしていったときに、 が元の周期関数 f t に際限なく近づく」ことを考えていることになる。 これを式で書くと、 と記述できる。 次の課題は、どんな周期関数 f t に対して上式の収束性が成り立つのか?ということである。 次に、必ずしも(任意の点で)滑らかではないが、区分的には連続な関数に関しての収束性を考える。 区分的に連続な関数とは、例えば、以下のような関数である。 一方で、このは元の周期関数に収束するのかの問題は自明ではない。 この収束性に関する問題を考える際には、 まず、「sin,cos 関数や定数関数は、いずれも連続関数なので、それらに定数(係数)をかけて有限項足し合わせた関数である も連続関数になる。 」 という性質に注意が必要となる。 この性質は、N をいくら大きくしていっても成り立つ。 従って、N を大きくしていったときの連続関数 が、元の周期関数 f t の不連続点付近でどのように振る舞うのかが焦点となる。 5 の値に近づいていることが分かる。 このような性質は、この例に限らず一般的にも成り立ち、以下のようなことが言える。 一方、不連続点以外の t に対しては、(任意の点で)滑らかな関数のときと同じように、以下の性質が成り立つ。 (負領域では上に凸な膨らみ、正領域では下に凸な膨らみ) そして、この膨らみの高さとへこみの深さは、N の値が大きくなっても 0 に近づかず、むしろ大きくなっていっていることが分かる。 又、膨らみの位置は、N の増加とともに不連続点に近づいていることが分かる。 不連続点付近で発生するこのような現象は、 ギブスの現象と呼ぶ。 このギブスの現象は、区分的に滑らかな関数が不連続点を持てば必ず発生する現象である。 このギブスの現象は、一見すると、区分的に滑らかな関数の不連続点以外の収束性(元の周期関数 f t への収束)と矛盾するように思える。 しかし実際には、大きな N の値に対しては矛盾は生じない。 このように、ギブスの現象と不連続点以外での t に関するの収束性の間には矛盾が存在しないが、 の膨らみやへこみ自体は N をいくら大きくしても残っているので、直感的には、収束するということに違和感がある。 そこで、この収束の定義を厳密に考えてみる。 先に定義したの収束の定義は、以下のようなものであった。 これまで、収束すると扱ってきた問題は、この各点収束の意味での収束するという意味であるが、 この各点収束より、厳しい狭義収束の定義として、以下のような一様収束が定義できる。 この各点収束と一様収束の言葉を使えば、 が、ある与えられた内の全ての t に対して f t に各点収束しても、そので f t に一様収束するとは限らないことが言える。 このことは、一般の不連続点をもつ周期関数についても成り立ち、以下の性質が成り立つ。 尚、先に述べていた滑らかな関数におけるの収束は、一様収束の意味での収束であり、 以下の性質に言い換えられる。 ここまで、各点収束や一様収束の議論をしてきたが、もう1つ重要な収束性に関する概念として、平均収束というものが挙げられる。 より一般的に定義すると、 前述のように、周期関数 f t が滑らかな場合は、そのが f t に一様収束する。 従って、平均収束の定義にある に対して、 の関係が成り立つので、平均収束の定義が成り立つことが分かる。 つまり、が一様収束するならば、必ず平均収束することが言える。 次に、区分的に滑らかな周期関数のを考えると、先に述べたように、各点収束はするが、一様収束はしない。 そのため、滑らかな関数のときほど簡単な議論ではないが、区分的に滑らかな関数に対しても、平均収束することがわかっている。 (詳細略) 最後に、この平均収束に関連した重要な式(ベッセルの不等式、パーシバルの等式)を導く。 平均収束の定義にある を、の形で変形すると、 最後の項をすると、 ここで、 の関係式と、係数の定義 より、 よって、 ここで、平均収束に定義にある の は、 任意の t に対して、0 以上となる関数なので、 は 0 以上である。 この2つの不等式を、 ベッセルの不等式という。 この複素は、これまでの実数での(実)と本質的に同じものであるが、複素を使用すると、に関する多くの公式が簡単になり、又、計算量も軽減できるようになるメリットが存在する。 実の式は、 であるが、これをで書き換えることを考える。 で書き換えるにあって、最も重要な式は、以下のである。 実際にの式に代入すると、 この式と実の式を比較すると、 複素係数で表記すると、 従って、複素は、 ここで、上式の複素係数 は、 で求まる実係数 から求めており、これでは計算量の削減になっていない。 そこで、次に、複素係数を直接計算することを考える。 ここで、より、 の関係が成り立つので、• 0 以外の偶数の n に対しては、• 奇数の n に対しては、• この概念は、という分野に基づく概念であり、関数同士の直交や関数系の完全性などの概念をもたらす。 ここでは、直交の概念でを再解釈し、より広い視点でのを見ていく。 この視点に立つと、重ね合わせを行うときの係数が係数に相当する。 この係数は、 の式から計算できるが、この式の導出過程においては、以下の公式が重要な役割を果たしていた。 この性質は、この関数の直交性と呼ばれ、この直交性が成り立つが故に、係数は、上式のような比較的簡単な式で記述出来ている。 この関数系の直交性の概念は、より一般的には以下のようになる。 この関数系の直交性は、ベクトルにおける直交性(が0)を一般化した概念であり、 各関数が1つのベクトルに対応し、部分が、2つのベクトルである のに対応する。 従って、直交関数系は、互いに直交するベクトルの集合のようなものであるであると言える。 直交関数系において、更に、大きさが1( )になるようなケース、 即ち、 が成り立つ場合、この関数系を正規直交系と呼ぶ。 この観点から見ると、実は、直交関数系 による直交展開であり、実は、このの展開係数である。 直交としては、この以外にも多くのものが存在するが(等)、が最もよく使われるので、その意味で、直交を 一般化 と呼ぶこともある。 (=で表現できない) このような直交関数系では、収束していかない関数(=展開で表現できない関数)が存在するという意味で、不完全である。 この完全な直交関数系の条件( )が成り立つ場合においては、 の が、どの t に対しても 0 以上であると言えるので、不連続点のような t を除けば、直交は元の関数 f t に収束し、関数 f t を直交で表現することが出来る。 ( が成り立つ。 ) 関数を、をはじめとする直交で表現することの目的・ケースは、 主に、以下の2点存在する。 関数の持つ性質について調べたい時。 例えば、ある関数 f t をの形で表すことにより、f t の各周期の変動成分の大きさ(=振幅の幅)を知ることが出来るなど。 などの方程式の解を求める際に、 解の関数を直交で表現することにより、比較的簡単に解を求めたい時。 これらの目的により、区分的に滑らかな関数のような、実用上通常扱われる関数の中に、直交で表現出来ないものが含まれないと(実用上)困る。 完全直交関数系は、区分的に滑らかな関数ならば、何でも表現することが出来るので、実用上の観点から応用範囲が広い。 次に、完全直交関数系の定義で定義した を別の形(パーシバルの等式)に書き直すことを考える。 ここで、パーシバルの等式 と、この完全直交関数系であるための条件 を比較すると、 展開における関数 に対応する展開係数は であることが分かる。 ここでは、このの仲間の1例としてを見てみる。 具体的には、まず0次の(定数) と1次の に対しては、 直交性の条件 を満たすので、 は直交関数系である。 次に、2次の に対しては、 と共に直交するという条件を満たすようにには、 となるようにする(計算略)と、 は直交関数系である。 これらの作業を繰り返すと、 が得られ、 は直交関数系である。 といった具合である。 このようにして得られた関数系 は、 と呼ばれる。 そして、この展開を、 展開 という。 このように、完全直交関数系は複数存在するので、1つの関数を複数の直交の形で表現できるケースが存在する。 このような場合において、複数の直交の内、どの直交を使うべきかを考える必要が出てくるが、この問題は、関数のもつある性質を調べるにあたって、その性質を最もよく表現出来るようなを選択すればよい。 例えば、関数に含まれる様々な周期の変動成分の大きさを知りたい際には、で表現するのがベストな選択である。 などの方程式の解を比較的簡単に求めるために解の関数を直交展開する際には、直交関数系を構成する各関数が取り扱いやすい形(=・の計算が楽な形)になるようにするようにする。 (は、で取り扱いやすい。 又、展開もで取り扱いやすい。 ) もう1つ重要な要素としては、展開時の各の収束の速さである。 これは、ある関数を和で近似するのに、たくさんの項が必要なのか、或いは少数の項で済むのかの問題であるが、解の関数を近似するでは、特に重要になってくる。 この問題を考えるための例として、以下のような関数を考える。 次に、この非周期関数 の代わりに、以下のような周期関数 を考える。 は偶関数なので、そのは、 具体的に計算すると、 ここで、この係数 は、正の整数 n に対する周期のの変動成分の大きさを表しているが、以降では、周期の代わりに、波数 を用いてこれら各変動成分を区別していくことにする。 そのために、 に をかけて、M を消去し、k に依存した式 を導くと、 となり、係数は、 とかける。 従って、の式は、 ここで、この式の第2項である の部分を図示すると以下の図のようになる。 従って、この長方形の面積の和は、の式の第2項の部分 になっている。 よって、 となり、また の関係より、 が成り立つ。 従って、 ここで、以下のようなの関数を導入する。 そして、この関数に、先の を代入すると、 即ち、 が成り立つ。 この式を用いて、関数 f t から F k を求めることを、関数の と呼ぶ。 (関数 F k を関数 f t のと呼んでもよい。 この式を用いて、関数 F k から f t を求めることを、関数の逆変換と呼ぶ。 (関数 f t を関数 F k のと呼んでもよい。 (例)関数 のを求める。 の式の F k に、逆変換の結果の式を代入した式 が得られる。 この式は、を再度逆変換すると、元に戻るという性質を記述した式であり、 の公式 と呼ばれる。 (離散スペクトル) 一方、も、非周期関数 f t を様々な波数 k を持つ sin,cos 関数の変動成分の重ね合わせとして表現しるが、各変動成分の波数 k が、任意の実数の値となり、連続的な値をとり得る。 (連続スペクトル) そして、この重ね合わせの密度(=)が、 に比例する。 従って、 与えられた非周期関数 f t のを求めることにより、この関数 f t の中に、どの波数(或いは周期)の変動成分が多く含まれているか?或いは、波数や周期でみてどのような範囲の変動成分を含んでいるか?を調べることが出来る。 が存在する条件には、以下のような条件が存在する。 (例) が絶対可であるかを調べる。 今、2つの関数 がをもつとする。 このとき、この2つの関数の各々に実数 をかけて足し合わせた関数 のがどうなるのかを見てみる。 つまり、( とすると分かるように)2つの関数の和のは、各々の関数のの和となる。 又、( とすると分かるように)ある関数の定数倍のは、元の関数のの定数倍となることが分かる。 これらの関係は、 についての重ね合わせの原理 と呼ばれる。 この原理を使えば、例えば、がわかっている2つの関数があって、その関数の和のを求めたい場合に、これを直ちに計算することが出来る。 尚、逆変換についても重ね合わせの原理が成り立つ。 (例) のの結果を用いて、 のを求める。 従って、元の関数のが分かっている時は、このの結果を用いて、元の関数を t 軸方向に任意の量だけずらした関数のを容易に計算できる。 (例) のの結果を用いて、 のを求める。 更に、時系列データなどの離散データの解析にも、この関係性についての知識がしばしば必要になる。 ) 即ち、ある関数ののは、元の関数のに ik をかけたものになる。 次に、区分的に滑らかで絶対可、かつ を満たす関数 f t のと、 この関数をして得られる関数 (区分的に滑らかで絶対可であるとする)のの間の関係性について調べてみる。 この畳み込みは、関数 g t を平行移動しながら関数 f t に重ね足し合わせる2項演算になっている。 ここで、変数を に変えると、 となるので、畳み込み演算は、交換則が成り立つ。 この畳み込み演算は、応用上の観点ばしば利用されるが、 畳み込みのは、これを構成する2つの関数 f t のと g t のを用いて、簡単な形で表せる。 即ち、 即ち、 2つの関数の畳み込み(合成積)のは、それぞれの関数のの積となる。 (例) この2つの関数の畳み込みは、 となるが、2つの関数から畳み込みのを求める。 この式は、に対するパーシバルの等式と呼ばれており、先のの収束性のところで取り上げた、パーシバルの等式と類似のものである。 両辺を k ですると、 この式は、F k に関してのになっており、その解は となる。 即ち、 であるとする。 まず初めに、下図のように長さ L のリング状の細い棒での熱伝導現象を取り扱う。 このとき、棒のリング状に沿った座標系を x とすると、 棒の長さ L でリングを一周するので、 は同じ点となり、 として、 が成り立つ。 () この解 u x,t と初期分布 f x の周期性に着目し、を利用することを考える。 この式は、周期 L の周期関数 f x の式になっているので、係数の値は、 従って、初期条件の関数 f x の形が具体的に与えられれば、係数は求まり、と初期条件を満たす特殊解が求まる。 次に、無限に長い棒での熱伝導方程式のような (周期性を持たない)無限領域を考える。 このような場合には、が利用できる。 即ち、として、任意の t に対し、 が成り立つとする。 又、温度は絶対可( )であるとし、 初期の温度分布も( )、絶対可( )を満たすとする。 従って、この温度分布 u x,t についてのを適用することが出来る。 ここで、 F k,t は、周期関数の場合の係数に対応するものであったので、先の長さが一定のリング状の棒に対する熱伝導方程式の解法と似た方法で、解が導けると考えられる。 両者の違いは、前者がを満たす変動成分が、とびとびの波数(or 周期)しかもてなかってために、無限個の和で表現されたのに対し、 後者は、無限に長い棒なので、どんな実数の値の波数(or 周期)が許されるために、で表現される点である。 の結果を代入すると、 ここで、F k,0 は、 なので、 ここで、のの公式を使用すると、 となるので、 となり、初期条件 f x の形が具体的に与えられれば、この式(特殊解)は計算できる。 逆に言えば、この やによるの解法が使えるためには、が線形でなければならない。 ここで、線形のの一番の特徴は以下の重ね合わせの原理が成り立つことである。 やを用いたの解法の基本的な考えは、 解を様々な波数 or 周期をもつ sin,cos 関数の重ね合わせ(和や)で表現するというものであるが、 この線形なの重ね合わせの原理は、まさにこの基本的な考えにフィットしている。 (それ故に、やにより線形なが解ける。 ここでは、まず、エネルギースペクトルとはどういうものかを見ていく。 (最右辺は加法定理 より成り立つ。 ) このときこの式は、振幅 で周期 をもつsin 関数の変動成分の和となっていることが分かる。 次に、この中の1つの変動成分 に対応する状態のエネルギーについて考える。 今、上図のようにバネ(バネ係数 K)に接続されている静止している物体 x があるとすると、 この物体のエネルギー(弾性エネルギー)E は、 となるが、この弾性エネルギーにより、振幅 A の単振動が発生する。 即ち、 という振動状態(単振動)のもつエネルギーは に比例する。 に対する、 の値は、各周期 の変動成分のもつエネルギーの分布となっていることが分かる。 その意味で、 という値の列を、 (離散的)エネルギースペクトル と呼ぶ。 又、に関するパーシバルの等式は、このエネルギースペクトルを使うと、 この式は、 の1周期(T)に渡ってのが、 各周期の変動成分 と定数成分 のエネルギー を足し合わせたものに比例することを意味している。 この は、先に述べたように、 波数 k の変動成分 の、波数の1幅あたりの大きさの密度に比例している。 そして、の導出のところで見たように、 の関係より、 とかけるので、被項は、 よって、 が、波数 k の変動成分の振幅 の2乗 に比例するので、 先のの場合と同様な議論から、 は、波数 k の変動成分の波数の1幅あたりのエネルギー密度に比例する。 その意味で、各 k に対する の値の分布を、非周期関数の(連続的な)エネルギースペクトルと呼ぶ。 (例) 非周期関数 のエネルギースペクトルを求める。 まず、以下の関数のエネルギースペクトルを求める。 これらの言葉を持ちると、この関数 f t の波形は、 高周波成分が存在することにより、基本波成分の波形(今の場合 cos 波形)は歪んでいるとみなすことも出来る。 従って、基本波成分のエネルギーと高周波成分のエネルギーの比である、 を基本波成分の波形の歪みの指数の目安として使用することが出来る。 次に、以下の関数のエネルギースペクトルを求める。 次に、以下のような関数(波)のエネルギースペクトルを求めてみる。 このようなゆっくりとしたと呼ばれ、このような関数の波形は波と呼ばれる。 ここでは、このの意味とエネルギースペクトルとの関連について調べていく。 このとき、先に見たように、f t が周期関数であるならば、そのから、(離散的)エネルギースペクトル が計算できた。 或いは、非周期関数であっても、絶対可であれば、より、(連続的)エネルギースペクトル が計算できた。 しかしながら、関数 f t が周期関数ではなく(非周期関数)、かつ、絶対可でない場合では、もも使えないので、エネルギースペクトルを算出することが出来ない。 即ち、 このように定義した量は、有限の値となり、 これを 関数 f t のという。 このエネルギースペクトルの定義に反して、実際の実験や数値シミュレーションでは、無限に長い t のに対しての関数 f t のデータを得ることは不可能であるので、 ある適当に決めた幅 T に対する を P k の近似値として採用することになる。 そこで、まず、 とおく。 このとき、f t は広い範囲の t に渡って変動するが、十分大きい t では0に近づくような絶対可な関数であると仮定する。 両辺のを求めると、(の積の公式より) ここで、この後の関数 F k と W k のグラフは、以下の図のようになる。 そして、この逆変換から求まる関数である f t w t も、f t のよい近似となる。 従って、任意の k に対して は定められ、は、 となる。 (係数のを計算でき、結果展開も計算できる。 ) しかし今のように、離散データ しか与えられたない場合では、この式のを厳密には計算できない。 とはいえ、このを近似的に計算することは可能である。 具体的には、以下のようになる。 ここで、 の実部 は以下の図のようになる。 この図より、 先の仮定(一定値 )は、この実部の関数を上図の階段部分の関数で近似していることに対応していることが分かる。 ここで、 この係数の近似式 は、元の係数 にはない次のような性質を持っている。 一方、通常の複素係数と同様にして、以下のような性質も成り立つ。 この2つの性質より、以下の関係式が成り立つ。 この性質は、M が偶数である場合 に対する の値と関連付けられることを意味している。 この結果と複素係数の周期性より、 に対する の値と関連付けられることを意味している。 この結果と複素係数の周期性より、 に対する が求まれば、他のすべての m に対する値も自動的に定まる。 従って、情報として意味を持つのは、 に対する のみである。 このことをまとめると、以下のような性質になる。 この性質より、の近似式は以下のように書き換えられる。 特に、離散データ に対しては、この式は この式は、離散データ に対して、意味のある複素係数だけ用いてした近似式と解釈することが出来るが、 実はこの近似式は厳密に成り立つ式となる。 (後述) このことを示すため、先の式 を書き換えることを考える。 この内、負の m に対する項は、 従って、以下の式に書き換えられる。 次に、このの近似式 に、複素係数の近似式 を代入すると、 ここで、上式の指数関数の和の部分の式に対して、 が成り立つ。 更に、今の場合 でなので、 となるケースは存在しない。 この関係を利用すると、 従って、 この係数展開の式 は、近似式ではなく厳密に成り立つ式となっている。 以上の結果をまとめると、 M 個の離散データ に対するは、以下のようになる。 まず、連続データに対する複素係数を求める。 ここで、 の関係式より、 次に、離散データに対する複素係数を求める。 まず、連続データに対する係数 は、 次に、M 個の離散データに対する係数 は、• この図からわかるように、 この場合の離散データの係数 は、 m がデータ数 の領域でも、正しい値(=連続データに対する複素係数)から大きくずれた値となっている。 (下図参照) 従って、この離散データに対する複素係数の値 は、 の場合と同じようになる。 よって、サンプリング周期の決め方に関して、 (=周期が 以下の変動成分)に対して、 の値が十分0に近いことが分かっている場合には、この から決まるサンプリング周期 を用いれば良い。 このような場合でも、もし何かしらの理由である程度以上の大きい m に対して、 が m に対しての減少関数であることが分かっているならば、充分大きい M に対しては、 の値からによる係数 の誤差の影響を見積もれる。 しかしそれすらも分かってない時は、この誤差を の値から見積もることは出来ない。 このような場合では、t のある幅 T だけ0でない値を持ち、それ以外では0になるような関数 f t を考え、そこから得られる離散データを考えることになる。 即ち、 そして、この(絶対可な)関数 f t に対する係数を、離散データ を用いて近似的に表わすことを考える。 具体的には、f t の F k は、 となるが、このを近似的にあらわすことを考える。 そこで、の近似式 の持っている分解能である 2T の間隔をもつ波数 に対するの近似式 の値のみを考えることにする。 即ち、 を離散データのと考える。 と殆ど同じ形であり、定数倍 T の違いでしかない。 ( ) 従って、離散データの複素係数 と同じく、周期性の関係 及び、 の関係式を満たす。 次に、逆変換 を、離散データを用いて近似的に表現することを考える。 ここで、以下では、逆変換の式の範囲を に限定する。 更に、 で書き直すと、 となる。 そして、この式の に、先の を代入すると、 離散データの逆変換 が、連続データから生成される離散データ に等しいことが示せる。 即ち、 以上の結果をまとめると、離散データに対する、逆変換は、 と表すことが出来る。 これらの式は、離散データに対する式なので、 それぞれ、 離散デ、 離散逆変換 と呼ばれる。

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周波数応答解析の基礎

フーリエ 解析

フーリエ級数を非周期関数にも拡張したものが フーリエ変換です。 フーリエ級数やフーリエ変換に代表されるフーリエ解析は、複雑な関数を周波数成分に分解してより簡単に記述することができるため、音や光、振動、コンピュータグラフィックスなど幅広い分野で用いられています。 複雑な情報や信号をその成分(周波数)毎に分解し、その大小に従って配列したものを 周波数スペクトル(あるいは単にスペクトル:spectrum)と呼びます。 スペクトルを用いることにより、例えば次のようなことが行えます。 ・スペクトルを分析して、信号源を同定したり、特徴パラメータを抽出してパターン認識を行う。 ・入力信号をスペクトルに変換して伝送し、それを受信側で元の信号に復元する。 ・入力信号の中から、特定の成分を取り出したり、雑音を除去する(フィルタリング)。 さて、関数(信号)には連続関数(アナログ信号)と離散関数(ディジタル信号)があり、また周期性があるものと、周期性がないものがあります。 同様にスペクトルにも、連続スペクトルと離散スペクトル、周期スペクトルと非周期スペクトルがあります。 これらの関数(信号)とスペクトルの間には次のような相互関係があり、それらに対応して各種フーリエ解析と標本化(サンプリング)が存在しています。 関数(信号)、スペクトルの種類 と 解析法の関係 関数の種類 スペクトルの種類 解析方法 連続周期関数 離散非周期スペクトル フーリエ級数展開 連続非周期関数 連続非周期スペクトル フーリエ変換 離散周期関数 離散周期スペクトル 離散フーリエ変換 離散非周期関数 連続周期スペクトル 標本化(サンプリング) ここでは、数回に分けて下記項目について順に記述しています。 フーリエ解析を直感的に理解できるように、各種アプレットを準備するとともに画像処理、音声データ処理、医療分野への応用なども取り上げています。

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